Diferentemente de uma página comum, uma fan page trabalha em um estilo diferente, como se fosse de seu trabalho profissional.
Nele você pode apenas responder, comentar, publicar, verificar estatísticas e etc.
Há um ponto negativo, a opção bate papo ficará inativo a partir do momento que você migra para uma fan page ou cria uma nova.
Com diversos aplicativos que permitem o famoso CHAT em páginas do face já estão disponíveis, mas é pago, e funcionam como um chat publico, qualquer um entra e envia uma mensagem.
Então, para finalizar:
Porque não posso enviar mensagens por uma página no Facebook?
Infelizmente se o perfil não for público, o único método para enviar uma mensagem é se alguém tenha lhe contactado primeiro.
Espero que tenha ficado claro, comentem se restaram alguma dúvida.